题目

设函数f(x)＝ax+

x

x−1

(x＞1)，若a是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数，
（1）求f（x）的最小值；
（2）求f（x）＞b恒成立的概率．

提问时间：2021-09-10

答案

（1）x＞1，a＞0，f(x)＝ax+

x−1+1

x−1

=ax+

1

x−1

+1…（2分）
=a(x−1)+

1

x−1

+1+a ≥2

a

+1+a＝(

a

+1)2，当且仅当 a（x-1）=

1

x−1

 时，等号成立．…（4分）
故f（x）的最小值为 (

a

+1)2．…（6分）
（2）f（x）＞b恒成立就转化为(

a

+1)2＞b成立．
则所有的基本事件总数为12个，即
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；
（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；…（8分）
设事件 A：“f（x）＞b恒成立”，
事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），
（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），共10个．…（10分）
由古典概型得 P(A)＝

10

12

＝

5

6

．…（12分）

（1）把f（x） 的解析式化简变形后利用基本不等式求出其最小值，注意检验等号成立的条件．
（2）f（x）＞b恒成立就转化为(

a

+1)2＞b成立，用列举法求出基本事件总数为12个，找出使
“f（x）＞b恒成立”，的时间的个数为10个，由此求得f（x）＞b恒成立的概率．

本题考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；基本不等式．

考点点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键；用列举法计算基本事件的总数，要注意不重不漏．