题目
已知数列Sn=2An+(-1)^n n大于一 试证明对于任意m大于4有 1/A4 +1/A5 +1/A6 +.+1/Am 小于7/8
我算出An=[2^(n-1)-2(-1)^n]/3
我算出An=[2^(n-1)-2(-1)^n]/3
提问时间:2021-09-09
答案
An=[2^(n-1)-2(-1)^n]/3 =(2/3)[2^(n-2)+(-1)^(n-1)].
A4=2.
若m为偶数,则
1/A4 +1/A5 +1/A6 +...+1/Am
=1/A4 +(1/A5+1/A6)+...+[1/A(m-1)+1/Am]
其中1/A(m-1)+1/Am
=(3/2){1/[2^(m-3)+1]+1/[2^(m-2)-1]}
=(3/2){[2^(m-3)+1+2^(m-2)-1]/[2^(m-3)+1][2^(m-2)-1]}
=(3/2){[2^(m-3)+2^(m-2)]/[2^(2m-5)-2^(m-3)+2^(m-2)-1]
<(3/2){[2^(m-3)+2^(m-2)]/[2^(2m-5)][∵-2^(m-3)+2^(m-2)-1>0]
=(3/2)[1/2^(m-3)+1/2^(m-2)]
∴1/A4 +1/A5 +1/A6 +...+1/Am
=1/A4 +(1/A5+1/A6)+...+(1/A(m-1)+1/Am)
<(1/2)+(3/2)[1/2^3+1/2^4+1/2^5+...+1/2^(m-2)]
=(1/2)+(3/2)(1/4)[1-1/2^(m-4)]
<(1/2)+(3/8)
=7/8.
当m是奇数时,m+1是偶数,所以
1/A4 +1/A5 +1/A6 +...+1/Am
<1/A4 +1/A5 +1/A6 +...+1/Am+1/A(m+1)
<7/8.
综上,命题得证.
A4=2.
若m为偶数,则
1/A4 +1/A5 +1/A6 +...+1/Am
=1/A4 +(1/A5+1/A6)+...+[1/A(m-1)+1/Am]
其中1/A(m-1)+1/Am
=(3/2){1/[2^(m-3)+1]+1/[2^(m-2)-1]}
=(3/2){[2^(m-3)+1+2^(m-2)-1]/[2^(m-3)+1][2^(m-2)-1]}
=(3/2){[2^(m-3)+2^(m-2)]/[2^(2m-5)-2^(m-3)+2^(m-2)-1]
<(3/2){[2^(m-3)+2^(m-2)]/[2^(2m-5)][∵-2^(m-3)+2^(m-2)-1>0]
=(3/2)[1/2^(m-3)+1/2^(m-2)]
∴1/A4 +1/A5 +1/A6 +...+1/Am
=1/A4 +(1/A5+1/A6)+...+(1/A(m-1)+1/Am)
<(1/2)+(3/2)[1/2^3+1/2^4+1/2^5+...+1/2^(m-2)]
=(1/2)+(3/2)(1/4)[1-1/2^(m-4)]
<(1/2)+(3/8)
=7/8.
当m是奇数时,m+1是偶数,所以
1/A4 +1/A5 +1/A6 +...+1/Am
<1/A4 +1/A5 +1/A6 +...+1/Am+1/A(m+1)
<7/8.
综上,命题得证.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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