题目

若F(X)+F(2-X)+2=0对任何实数X都成立,则F(X)图像关于哪点中心对称?
怎么求那点出来?如何证明?
3Q

提问时间：2021-07-01

答案

F(X)图像关于点(1,-1)中心对称
对任何实数X都有:F(X)+F(2-X)+2=0于是可取X为1-X那么得:
F(1-X)+F(1+X)+2=0
从而有:
[F(1-X)-(-1)]+[F(1+X)-(-1)]=0
这个式子的几何意义就能说明,函数F(X)关于点(1,-1)中心对称,因为
1-X,1+X是指横坐标关于1对称的两个点(这两个点横坐标关于1对称,两这中点为[(1-X)+(1+X)]/2=1
而这两个点的纵坐标为F(1-X),F(1+X)由[F(1-X)-(-1)]+[F(1+X)-(-1)]=0可知两者中点为:[F(1-X)+F(1+X)]/2=-1
可知这两个点纵坐标关于(-1)对称
上面1-X是任取的,也就是说每一个点(1-X,F(1-X))都存在一个和他关于(1,-1)对称的点(1+X,F(1+X))
于是(X,F(X))关于(1,-1)中心对称