题目

微积分 有关极限问题
如果lim [x(1+a*cosx)-b*sinx]/x^3=1 当x趋进0时
求 a ,b 的值

提问时间：2021-05-30

答案

很明显,x->0时,分子分母都->0,0/0型,用罗比达法则.
上下都对x求导,
原式=lim [( 1+ a cosx - a x sinx - b cosx) / (3 x^2)]
因为极限存在（极限为1）,当x->0时,上式分母->0,所以分子也一定->0.
否则分子趋向于定值,分母趋向于0,这个极限就是无穷大了,就不是1了.
所以x->0时lim(1+a cosx - a x sinx - b cosx)=0
即1+a-0-b=0
现在又是0/0型了,再用罗比达法则,
原式=lim [(-2 a sinx - a x cosx + b sinx) / (6x)]
此时若x->0,不管a,b值是多少,分子分母都->0
所以继续用罗比达法则
原式=lim [(-3 a cosx + a x sinx + b cosx) / 6]
(x->0带进去) = (-3a+b)/6
因为原式=1,所以-3a+b=6
与前面的1+a-b=0
联立方程组,得
a = -5/2,b = -3/2