题目
已知,如图四边形ABCD是菱形,过AB的中点E作AC的垂线EF,交AD于点M,交CD的延长线于点F,垂足为O.
求证:(1)M是AD的中点;
(2)DF=
CD.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/18d8bc3eb13533fa551f739fabd3fd1f40345bd2.jpg)
求证:(1)M是AD的中点;
(2)DF=
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提问时间:2021-05-30
答案
证明:(1)连接BD,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac345982b2b7d0a29494e42cc8ef76094b369a26.jpg)
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO平分∠BAD,AC⊥BD,
∵EF⊥AC,点E是AB中点,
∴EM是△ABD的中位线,
∴M是AD的中点;
(2)在△AME和△DMF中,
∵∠EAM=∠FDM,AM=DM,∠AME=∠DMF,
∴△AME≌△DMF,
∴DF=AE,
∵AE=
AB=
CD,
∴DF=
CD.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac345982b2b7d0a29494e42cc8ef76094b369a26.jpg)
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO平分∠BAD,AC⊥BD,
∵EF⊥AC,点E是AB中点,
∴EM是△ABD的中位线,
∴M是AD的中点;
(2)在△AME和△DMF中,
∵∠EAM=∠FDM,AM=DM,∠AME=∠DMF,
∴△AME≌△DMF,
∴DF=AE,
∵AE=
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∴DF=
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(1)先根据EF⊥AC,可判断出EM是△ABD的中位线,继而可证得结论.
(2)由(1)得,△AME≌△DMF,则DF=AE=
CD.
(2)由(1)得,△AME≌△DMF,则DF=AE=
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菱形的性质;全等三角形的判定.
本题考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的证明,是中等题.
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