题目

已知向量

a

=（cosx+2sinx，sinx），

b

=（cosx-sinx，2cosx），设函数f（x）=

a

•

b

，
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）的最大值及取最大值时x的集合．

提问时间：2021-05-28

答案

（I）由已知可得f（x）=（cosx+2sinx）（cosx-sinx）+2sinxcosx（1分）=cos2x-sinxcosx+2sinxcosx-2sin2x+2sinxcosx=cos2x+3sinxcosx-2sin2x=12(1+cos2x)+32sin2x+(cos2x-1)=32(sin2x+cos2x)-12=322sin(2x+π4)-12（...

（I）求出f（x）=a•b的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调性，求出函数f（x）的单调递增区间；
（II）结合（I）利用正弦函数的有界性，求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的集合．

本题考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的单调性；三角函数的最值．

考点点评：本题考查平面向量的数量积，三角函数的单调性，三角函数的最值，考查学生计算能力，是中档题．