题目

已知sinα−sinβ＝−

1

2

，cosα−cosβ＝

1

2

，且α、β均为锐角，求tan（α-β）的值．

提问时间：2021-05-27

答案

∵sinα−sinβ＝−

1

2

，cosα−cosβ＝

1

2

∴sin2α−2sinαsinβ+sin2β＝

1

4

①
cos2α−2cosαcosβ+cos2β＝

1

4

②
∴①+②得：2(sinαsinβ+cosαcosβ)＝

3

2

∴cos(α−β)＝

3

4

（7分）
由sinα−sinβ＝−

1

2

，且α、β均为锐角，得α＜β＜90°
∴sin(α−β)＝−

7

4

（11分）
∴tan(α−β)＝−

7

3

（13分）

观察题设条件，可将两等式平方相加求得α-β的余弦值，再由同角三角函数的关系求出其正弦值，由商数关系求出其正切值．

本题考点：两角和与差的正切函数；弦切互化．

考点点评：本题考查三角函数的两角和与差的正、余弦公式以及同角三角函数的基本关系．