题目

已知函数f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，求实数k的取值范围．

提问时间：2021-05-27

答案

（1）∵函数f（x）=2^x+k•2^-x为奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴2^-x+k•2^x=-（2^x+k•2^-x）
∴（1+k）+（k+1）2^2x=0恒成立
∴k=-1
（2）∵对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，
∴2^x+k•2^-x＞2^-x成立
∴1-k＜2^2x对任意的x∈[0，+∞）成立
∵y=2^2x在[0，+∞）上单调递增
∴函数的最小值为1
∴1-k＜1
∴k＞0

（1）利用函数f（x）=2^x+k•2^-x为奇函数，建立等式，即可求实数k的值；
（2）对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，即2^x+k•2^-x＞2^-x成立，即1-k＜2^2x对任意的x∈[0，+∞）成立，从而可求实数k的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．

考点点评：本题考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性的定义，利用分离参数法求解恒成立问题．