题目

一个关于数列收敛的问题
如果一个数列的
(x_n+2)-(x_n+1)
----------------- 总是等于一个小于1的常数 那么这个数列一定收敛吗
(x_n+1)-(x_n)
x_n+2 意思是x下标(n+2) 意思是数列的第n+2项

提问时间：2021-05-10

答案

不一定收敛.
令[x(n+2)-x(n+1)]/[x(n+1)-xn]=q<1
则数列{xn-x(n-1)}是以x2-x1为首项,公比为q的等比数列通项为xn-x(n-1)=(x2-x1)q^(n-2)
xn=[xn-x(n-1)]+[x(n-1)-x(n-2)]+...+[x2-x1]+x1
=[(x2-x1)-(x2-x1)q^(n-2)*q]/(1-q)+x1
=(x2-x1)*[1-q^(n-1)]/(1-q)+x1
xn收敛,主要看q^n,当|q|<1时,an收敛于(x2-x1)/(1-q) +x1
q<=-1时,极限不存在,也不会收敛.