题目

有理函数的积分怎么做啊
对于多项式怎么分?比如(x^3+5x^2+2)/[x^2(x+1)^2]为什么要分成a/x+b/x^2+c/(x+1)+d/(x+1)^2.原式分母是x^2和(x+1)^2相乘,分开却变成四个多项式,不理解.
另外,对于分子次数远小于分母次数的多项式要怎么分呢,如求x/x^4-2x^2-1的积分
貌似有理函数的积分比换元,分部积分麻烦很多..
救命啊.

提问时间：2021-05-08

答案

是因为a/x+b/x^2+c/(x+1)+d/(x+1)^2.的每一项都是能够积分的,最简单的从积分表中可以看出,分母最多是二次的不可约多项式（的幂）能够查出积分.
对于分子次数远小于分母次数的多项式要怎么分呢,如求x/x^4-2x^2-1的积分?
将分母在实数范围内分解不可约因式的积,利用待定系数法,表示为分式的和,即所谓分项分式.
有些不一定很麻烦,比如：1/[x^2(x^2+1)]=[x^2+1-x^2]/[x^2(x^2+1)]=1/x^2-1/(x^2+1).
分项分式的方法在一般数学分析,高数中都能找到.