题目

1.已知双曲线x2-m已知双曲线x2-my2=1(m>0)的右顶点为A,而B,C是双曲线右支上两点,若△ABC为正三角形,则m的取值范围是（详细过程）
2.双曲线X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0b>0)的左右焦点分别为F1F2点P在双曲线的右支上|PF1|=4|PF2|,则离心率的范围是
3.

提问时间：2021-05-08

答案

1
由双曲线的方程知A（1,0）,
根据双曲线的对称性,若三角形ABC为等边三角形,则BC垂直于x轴,∴AB的倾斜角为30°
设直线AB方程为y=√￣3/3（x-1）,代入双曲线方程,化简,得,
（m-3）x2-2mx+m+3=0
∵满足条件的点B,存在,
∴方程（m-3）x2-2mx+m+3=0有两解,一个等于1,一个属于（1,+∞）．
∴
m-3≠0
△=(2m)2-4(m-3)(m+3)＞0
-（-2m）/2(m-3)
＞1
,
解得,m＞3
∴m的范围是（3,+∞）
故答案为（3,+∞）
2
设P（x,y）,由焦半径得丨PF1丨=ex+a,丨PF2丨=ex-a,
∴ex+a=4（ex-a）,化简得e=5a/3x
,
∵p在双曲线的右支上,
∴x≥a,
∴e≤5/3