题目

设函数f（x）=e^x-1-x-ax²．
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．

提问时间：2021-05-07

答案

（1）a=0时，f（x）=e^x-1-x，f′（x）=e^x-1．
当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．
故f（x）在（-∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加
（II）f′（x）=e^x-1-2ax
由（I）知e^x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立．故f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，
从而当1-2a≥0，即a≤

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时，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是当x≥0时，f（x）≥0．
由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（x≠0）．
从而当a＞

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时，f′（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故当x∈（0，ln2a）时，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0．
综合得a的取值范围为(−∞，

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]．

（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．
（2）根据e^x≥1+x可得不等式f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，从而可知当1-2a≥0，即a≤

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时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．