题目

正四棱锥C-ABCD的高SO为2,底边AB为√2,求异面直线BD和SC之间的距离

提问时间：2021-05-07

答案

如图,BD⊥平面SOC
作OE⊥SC(E是垂足)    .(1)
∵SO⊥底面ABCD(椎体高的定义）
,又BD∈底面ABCD,
∴SO⊥BD（,线面垂直性质定理）
又∵S－ABCD是正四棱锥（已知）,
∴ABCD是正方形（正棱锥定义）
∴OC⊥BD（正方形性质）

 因此,BD就⊥相交二直线CO和OS所在平面SOCE（线面垂直判定定理）,
从而,OE⊥BD（线面垂直性质定理）..               .(2)
由（1）、（2）可知,
OE是异面直线CS、BD的公垂线（定义）,
其长度就是本题所求（定义）.
直三角形SOC的斜边
SC=√SO^2+OC^2（勾股定理）
=√2^2+1^2（代换）
=√5
OE是直三角形SOC斜边OE上的高（作图）,
直三角形SOC的面积
=（1/2）OE *SC（三角形面积公式）
=（√5/2）OE （代换）             . (3)
又同一直三角形SOC的面积也
=二直角边之积之半,即
直三角形SOC的面积
=（1/2）SO*CO
=（1/2）*2*1
=1                 . (4)
由（3）、（4）得
（√5/2）OE=1   
OE=2√5/5,(此法是所谓“等面积法”.还有诸多类似的间接算法.）
这就是异面直线SC、BD间的距离.
（因不少提问者要求详细过程,本解答写的较长.加之介面上符号不够用,费时不短.但愿对基础知识和基本方法较差的提问者能有所帮助.）