题目

3.（07天津文）已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R.
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）求函数f(x)在区间[π/8,3π/4]上的最小值和最大值.
（3）求单调区间

提问时间：2021-05-07

答案

1
f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1
=2sinxcosx-2cos²x+1
=sin2x-cos2x
=√2sin(2x-π/4)
∴ 最小正周期T=2π/2=π
2
∵[π/8,3π/4]
∴2x∈[π/4,3π/2]
∴2x-π/4∈[0,5π/4]
∴2x-π/4=π/2时,f(x)max=√2
2x-π/4=5π/4时,f(x)min=-1
3
2kπ-π/2≤2x-π/4≤2kπ+π/2,k∈Z
得：kπ-π/8≤x≤kπ+3π/8,k∈Z
∴f(x)递增区间为[kπ-π/8,kπ+3π/8],k∈Z
递增区间为[kπ+3π/8,kπ+7π/8],k∈Z