题目

如果实数a，b满足条件a²+b²=1，|1-2a+b|+2a+1=b²-a²，则a+b=______．

提问时间：2021-05-06

答案

∵a²+b²=1，|1-2a+b|+2a+1=b²-a²，设a=sinx，b=cosx，
∴得|1-2sinx+cosx|+2sinx+1=（cosx）²-（sinx）²，即|1-2sinx+cosx|=-2sinx-2（sinx）²，可知sinx≤0，
∵-1≤cosx≤1，
∴1-2sinx+cosx≥0，故得1-2sinx+cosx+2sinx+1=（cosx）²-（sinx）²，即 2（cosx）²-cosx-3=0，
即（2cosx-3）（cosx+1）=0
又∵-1≤cosx≤1，
∴cosx=-1，所以sinx=0，故a+b=cosx+sinx=-1，
故答案为-1．

可先令a=sinx，b=cosx，并代入已知代数式|1-2a+b|+2a+1=b²-a²，进行化简可得（2cosx-3）（cosx+1）=0，知cosx=-1，所以sinx=0，故a+b=cosx+sinx=-1．

本题考点：完全平方公式．

考点点评：本题难度较大，主要考查完全平方公式，本题可利用换元法进行解答．