题目

若函数f(x)的定义域是R,且对任意x、y,F(x)+F(y)=f(x+y)恒成立
f(x)为奇函数
若f(8)=4,求f(-1/2)的值

提问时间：2021-05-06

答案

由f(x)+f(y)=f(x+y),
令x=4,y=4得f(4)+f(4)=f(4+4) 即f(8)=2f(4),又已知f(8)=4,所以
f(4)=2
令x=2,y=2得f(2)+f(2)=f(2+2) 即f(4)=2f(2),又已求出f(4)=2,所以
f(2)=1
令x=1,y=1得f(1)+f(1)=f(1+1) 即f(2)=2f(1),又已求出f(2)=1,所以
f(1)=1/2
令x=1/2,y=1/2得f(1/2)+f(1/2)=f(1/2+1/2) 即f(1)=2f(1/2),又已求出f(1)=1/2,所以
f(1/2)= 1/4
因为f(x)为奇函数,所以f(-x)= -f(x),所以
f(-1/2)= -f(1/2) = -1/4