题目

已知集合A={x∈R|ax²-3x-4=0}，
（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-05-06

答案

（1）∵A中有两个元素，
∴关于x的方程ax²-3x-4=0有两个不等的实数根，
∴△=9+16a＞0，且a≠0，即所求的范围是{a|a＞−

9

16

，且a≠0}；（6分）
（2）当a=0时，方程为-3x-4=0，
∴集合A={−

4

3

}；
当a≠0时，若关于x的方程ax²-3x-4=0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时a＝−

9

16

；
若关于x的方程ax²-3x-4=0没有实数根，则A没有元素，此时a＜−

9

16

，
综合知此时所求的范围是{a|a≤−

9

16

，或a=0}．（12分）

（1）由A中有两个元素，知关于x的方程ax²-3x-4=0有两个不等的实数根，由此能求出实数a的取值范围．
（2）当a=0时，方程为-3x-4=0，所以集合A={−

4

3

}；当a≠0时，若关于x的方程ax²-3x-4=0有两个相等的实数根，则A也只有一个元素，此时a＝−

9

16

；若关于x的方程ax²-3x-4=0没有实数根，则A没有元素，此时a＜−

9

16

．由此能求出实数a的取值范围．

本题考点：元素与集合关系的判断．

考点点评：本题考查实数a的取值范围的求法．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意分类讨论思想的合理运用．