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题目
定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=f(3-x)=-f(x),且f(1)=0,给出下列命题:f(x)是周期
已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=f(3-x)=-f(x),且f(1)=0,给出下列命题
1、f(x)是周期函数
2、f(x)的图象关于直线x=1.5对称
3、f(x)的图象关于点(1.5,0)对称
4、方程f(x)=0在区间[0,5]内至少有8个根

提问时间:2021-05-05

答案
因为定义域为R,且f(-x)=f(3-x)=-f(x)
由:f(-x)=-f(x)得:f(x)为奇函数
由:f(-x)=f(3-x)得:令:t=-x,即有:f(t)=f(3+t),
那么,f(x)为周期函数,T=3
由:f(3-x)=-f(x)得:令:t=1.5-x,即有:f(1.5+x)=-f(1.5-x),
那么,令x=0,f(1.5)=-f(1.5),f(1.5)=0
那么,f(x)关于点(1.5,0)对称
由以上即可得:
(1、),是对的;
(2、),是错的:否则必有:f(1.5-x)=f(1.5+x)
(3、),是对的;
剩下(4、):
因为f(x)为奇函数,故f(0)=0,立即有:f(3-0)=f(3)=0
又有f(1)=0,立即有:
f(3-1)=f(2)=0
-f(2)=f(-2)=f(3+2)=f(5)=0
-f(1)=f(-1)=f(3+1)=f(4)=0
再有f(1.5)=0,立即有:
-f(1.5)=f(-1.5)=f(3+1.5)=f(4.5)=0
因此,综上:f(0)=f(1)=f(1.5)=(2)=f(3)=f(4)=f(4.5)=f(5)
即,
方程f(x)=0在区间[0,5]内至少有8个根
因此(4、),是对的
有不懂欢迎追问
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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