题目

定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=f(3-x)=-f(x),且f(1)=0,给出下列命题:f(x)是周期
已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(-x)=f(3-x)=-f(x),且f(1)=0,给出下列命题
1、f(x)是周期函数
2、f(x)的图象关于直线x=1.5对称
3、f(x)的图象关于点(1.5,0)对称
4、方程f(x)=0在区间[0,5]内至少有8个根

提问时间：2021-05-05

答案

因为定义域为R,且f(-x)=f(3-x)=-f(x)
由：f(-x)=-f(x)得：f(x)为奇函数
由：f(-x)=f(3-x)得：令：t=-x,即有：f(t)=f(3+t),
那么,f(x)为周期函数,T=3
由：f(3-x)=-f(x)得：令：t=1.5-x,即有：f(1.5+x)=-f(1.5-x),
那么,令x=0,f(1.5)=-f(1.5),f(1.5)=0
那么,f(x)关于点(1.5,0)对称
由以上即可得：
(1、),是对的；
(2、),是错的：否则必有：f(1.5-x)=f(1.5+x)
(3、),是对的；
剩下(4、)：
因为f(x)为奇函数,故f(0)=0,立即有：f(3-0)=f(3)=0
又有f(1)=0,立即有：
f(3-1)=f(2)=0
-f(2)=f(-2)=f(3+2)=f(5)=0
-f(1)=f(-1)=f(3+1)=f(4)=0
再有f(1.5)=0,立即有：
-f(1.5)=f(-1.5)=f(3+1.5)=f(4.5)=0
因此,综上：f(0)=f(1)=f(1.5)=(2)=f(3)=f(4)=f(4.5)=f(5)
即,
方程f(x)=0在区间[0,5]内至少有8个根
因此(4、),是对的
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