题目

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q（p≠0且p≠1），求证q=-1是数列{a_n}成等比数列的充要条件．

提问时间：2021-05-05

答案

证明：当n=1时，a1=S1=p+q；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（p-1）•pn-1．由于p≠0，p≠1，∴当n≥2时，{an}是等比数列．要使{an}（n∈N*）是等比数列，则a2a1=p，即（p-1）•p=p（p+q），∴q=-1，即{an}是等比数列的必要条...

先求出a₁的值，再由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1进而可判定n≥2时，{a_n}是等比数列，最后再验证当n=1时q=-1时可满足，{a_n}是等比数列，从而{a_n}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1；当p≠0且p≠1且q=-1时，根据S_n=pⁿ-1可求出a_n=（p-1）•p^n-1，进而得到

an

an−1

=p即{a_n}是等比数列，即可知q=-1是{a_n}是等比数列的充分条件．

本题考点：等比关系的确定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．

考点点评：本题主要考查等比数列的充要条件，考查基础知识的综合运用．