题目

a(-1,0),b(1,0),p在圆周(x-3)*(x-3)+(y-4)*(y-4)=4上,求使ap*ap+bp*bp最小值时的p点坐标.

提问时间：2021-05-05

答案

∵(x-3)^2+(y-4)^2=4
利用三角换元,令:
{x=3+2cost
{y=4+2sint
则有:
AP^2=(x+1)^2+(y-0)^2
BP^2=(x-1)^2+(y-0)^2
∴AP^2+BP^2
=2x^2+2+2y^2
=2(x^2+y^2)+2
=2OP^2+2
OP最小时AP^2+BP^2取最小值
O与圆心相连与圆的交点中离O近的那个即为所求
∴tant=4/3
cost=-3/5
sint=-4/5
解得:
x=3-6/5=9/5
y=4-8/5=12/5
∴P(9/5,12/5)
当然,不用三角换元也可以,再提供一个思路:
在△APB中,有AP^2+BP^2=1/2*(4OP^2+BP^2)
即当OP最小时,AP^2+BP^2取最小值
而OP(min)=5-2=3
∴Px=3*3/5=9/5
Py=3*4/5=12/5
∴P(9/5,12/5)