题目

已知函数f（x）=x³-3ax-1，a≠0．若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则m的取值范围是______．

提问时间：2021-05-05

答案

函数的导数为f'（x）=3x²-3a，因为f（x）在x=-1处取得极值，
所以f'（-1）=0，即3-3a=0，解得a=1．
所以f（x）=x³-3x-1，f'（x）=3x²-3=3（x²-1）=3（x-1）（x+1），
当f'（x）＞0，得x＞1或x＜-1．当f'（x）＜0，得-1＜x＜1．
即函数在x=-1处取得极大值f（-1）=1，在x=1处取得极小值f（1）=-3，
要使直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则m小于极大值，大于极小值，
即-3＜m＜1，所以m的取值范围是（-3，1）．
故答案为：（-3，1）．

利用函数f（x）在x=-1处取得极值，先求出a．要使直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，则说明m小于极大值，大于极小值．

本题考点：函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题的考点是利用导数研究函数的极值，以及函数的交点问题．要注意利用数形结合的数学思想去解决．