题目

函数 请写详解
已知函数f（x）同时满足以下3个条件
1.f（x）反函数f-1（x）
2、点（1,1）在函数f(x)的图像
3、函数f(x+1)的反函数为f-1(x-1)
则｛1/(f（n）f（n+1））的前n项和Tn等于多少

提问时间：2021-05-05

答案

反函数和原函数是关于y=x对称的,故对于原函数上的任一点(x,y)和反函数上对应的点(y,x),当原函数向左平移一个单位,对应的反函数的坐标向下平移一个单位.即f(x+1)对应的反函数为f-1(x)-1.
又根据条件3知,f-1(x)-1=f-1(x-1).设反函数为g(x)=f-1(x),则有g(x)-1=g(x-1).当x全为自然数时即有：g(n)-g(n-1)=1.
根据g(n)-g(n-1)=1,g(1)=1,推出g(n)=n.又f(x)和g(x)互为反函数,故原函数中当x=n时,有f(n)=n.
所以,1/[f(n)f(n+1)]=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
故,Tn=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+…+[1/n-1/(n+1)]=1-1/(n+1)=n/(n+1).