题目

如图 已知抛物线的方程为x^2=2py 过点a(0,1)的直线
已知抛物线的方程为x2=2py(p＞0),过点A(0,-1)作直线l与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP与x轴分别交于点M,N,如果QB的斜率于PB的斜率的乘积为-4,则∠MBN的大小为?

提问时间：2021-05-04

答案

这种题目高考不会出,奥林匹克也不会考,国家级或者国际级可能会考,不必钻这种题目哦.
以下是奥林匹克高手的解法,方法正确,请检验计算结果.
PQ:y=kx-1
x^2=2py=2p*(kx-1)
x^2-2pkx+2p=0
xP+xQ=2pk,xP*xQ=2p
k(BQ)*k(BP)=-4
[(yQ-1)/xQ]*[(yP-1)/xP]=-4
(kxQ-2)*(kxP-2)+4xP*xQ=0
k^2*xP*xQ-2k*(xP+xQ)+4+4xP*xQ=0
(4+k^2)*xP*xQ-2k*(xP+xQ)+4=0
(4+k^2)*2p-2k*2pk+4=0
k^2=(2+4p)/p
xP-xQ=2√(p^2*k^2-2p)=2√[p^2*(2+4p)/p-2p]=2√(4p^2)=4p(p>0)
k(BQ)-k(BP)=(kxQ-2)/xQ-(kxP-2)/xP=-2(xP-xQ)/(2p)=-4
1+k(BQ)*k(BP)=1+[(kxQ-2)/xQ]*[(kxP-2)/xP]=-3
[k(BQ)-k(BP)]/[1+k(BQ)*k(BP)]=-4/(-3)=4/3
∠MBN=arctg(4/3)