题目

已知点p(5,4),圆c的方程x^2+y^2-6x-8y-11=0,判断是否存在满足下列三个条件的圆d：1、圆d过p点；2、圆d和圆
相切；3、圆d的圆心的横纵坐标均为正整数,若存在,求出圆d的方程

提问时间：2021-05-04

答案

x²+y²-6x-8y-11=0可以化为：
（x-3）²+（y-4）²=6²
所以圆C圆心为O1（3,4）,半径为6.
设圆D的圆心为O2（a,b）,a、b＞0,半径为r
即D的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²
条件1：圆d过p点,说明（5-a）²+（4-b）²=r²
条件2：圆D和圆C相切,说明他们仅有一个共点（不管是内切还是外切）
把P点代入圆c的方程,5²+4²-6x5-8x4-11＝－32＜0,说明P点在圆C内,即圆C和圆D内切,且P点到圆C上最短距离即为圆D的直径,假设切点为E
E点在P点和O1（3,4）的连线PO1上.
由于P点和O1点的纵坐标都等于4,说明PO1为水平线,则b=4；
P点的横坐标为5,则P点在O1点的右侧.
将y=4代入方程x²+y²-6x-8y-11=0,得
x²-6x-27=0
解得x1=-3
x2=9
切点E的坐标为E（9,4）
O2（a,b）为线PE的中点,故
a=（9+5）÷2 =7
b=(4+4)÷2=4
r²=(((9-5)²+（4-4）²)^0.5/2)²=2²
所以圆D的方程为：
（x-7）²+(y-4)²=4