题目

已知双曲线C：x的平方－y的平方＝1及直线L：y＝kx－1.问题1）若直线L与C的左支有两个不同的交点,求实数k的取值范围?2）若L与C左支交与A,B两点,0为坐标原点,且三角形ABO的面积为2/根号2,求实数k的值.

提问时间：2021-05-04

答案

（1）由联立x²-y²=1,y＝kx－1可得：得（1-k²）x²+2kx-2=0
∵L与C左支交于两个不同的交点
∴1-k²≠0,△=4k²+8(1-k²)＞0 且 x1+x2=-2k/1-k²＜0,x1x2=-2/1-k²＞0
∴k的取值范围为 （0,1）
（2）设A（x1,y1）、B（x2,y2）,
由（1）得 x1+x2=-2k/1-k²,x1x2=-2/1-k² ,又L过点D（0,-1）,
∴S△OAB=S△OAD+S△OBD=1/2|x1|+1/2|x2|=1/2|x1-x2|=2．
∴(x1-x2)²=(2√2)²,即（2k/1-k²)²+ 8/1-k²=8．
∴k=0或k=±√6/2．
慢慢敲出来真不容易,保证对.