题目

已知a，b，c是不全相等的正数，求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）＞16abc．

提问时间：2021-05-04

答案

证明：∵ab+a+b+1=（a+1）•（b+1），ab+ac+bc+c2=（a+c）•（b+c），∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），∵a，b，c是正数，∴a+1≥2a＞0，b+1≥2b＞0，a+c≥2ac＞0，b+c≥2bc＞0，...

将（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）转化为（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），再结合条件a，b，c是不全相等的正数，应用基本不等式即可．

本题考点：不等式的证明；基本不等式．

考点点评：本题考查不等式的证明，关键是将（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）转化为（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），着重考查基本不等式的应用，属于中档题．