题目

双星运动与黑洞
神奇的黑洞是近代引力理论所语言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观察双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了LMCX-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成.两星视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,他们之间的距离保持不变.引力常量为G,由感测能够得到可见星A的速率v和运动周期T.(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m'的星体(视为质点)对它的引力.设A和B的质量分别为m1、m2,试求m'；(用m1、m2表示) (2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运动周期T和质量m1之间的关系式； (3)恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量ms的2倍,它将有可能成为黑洞,若可见星A的速率v=2.7×10^5m/s,运行周期T=4.7π×10^4s,质量m1=6ms,试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞么?(G=6.67×10^-11Nm^2/kg^2,ms=2.0×10^30kg)

提问时间：2021-05-03

答案

双星之间存在一系列关系.如角速度相等,设为ω,周期相等,皆为T,相互引力相等,F＝G m1m2/r2=m1ω2r1= m2ω2r2,又r1＋r2＝r (见本题),可解得 m ′＝m22／(m1 + m2)2.解第(2)问,由向心力与速度和周期的关系,有Gm1 m ′／r1 2＝m1v2 ／r1＝4π2m1 r1／T2 ,可推得满足的关系为m22／(m1 + m2)2==v3T/2πG.解第(3)问,由质量关系m1==6ms,及所给数据代入前式得关系m2>2ms,故B可能是黑洞.