题目

求线性方程组的通解
刘老师您好：
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题目是这样的：已知三阶矩阵A的秩为2,若α1,α2,α3为非齐次线性方程组Ax=b的3个解,且α1=（1,2,3）^T,α2+α3=（3,5,7）^T,则该线性方程组的通解是_______
书上答案是这样的：（1,2,3）^T+c(1,1,1)^T,由题设知未知量的个数为3,系数矩阵的秩为2,所以导出组的基础解系中只含一个解向量.所以导出组的基础解系中只含一个解向量,构成导出组的一个基础解系.
我对这个答案及其解释除了「秩为2」能看懂外,其它都一头雾水.譬如「未知量的个数为3」、「所以导出组的基础解系中只含一个解向量」、「所以导出组的基础解系中只含一个解向量」,这些结论都不知怎么得出来的.
纠错：
书上答案是这样的：（1,2,3）^T+c(1,1,1)^T,由题设知未知量的个数为3,系数矩阵的秩为2,所以导出组的基础解系中只含一个解向量.（α2+α3）-2α1为导出组的非零解,构成导出组的一个基础解系.
我对这个答案及其解释除了「秩为2」能看懂外,其它都一头雾水.譬如「未知量的个数为3」、「所以导出组的基础解系中只含一个解向量」、「（α2+α3）-2α1为导出组的非零解」,这些结论都不知怎么得出来的.

提问时间：2021-05-02

答案

若 A 是m乘n矩阵, 则 Ax=b 有m个方程, n个未知量

齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n - r(A) (这里是 3-2 = 1) 个解向量, 这是定理, 应该知道!

若 a1,...,as 是 Ax=b 的解
则 k1a1+...+ksas 是 Ax=b 的解的充要条件是 k1+...+ks = 1
k1a1+...+ksas 是 Ax=0 的解的充要条件是 k1+...+ks = 0
这是基本结论