题目

如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点做EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点．AE与CF交于M，HE与CF交于N．

（1）求证：∠DAE=∠BEA，AH=CE；
（2）探究线段HE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由．

提问时间：2021-05-02

答案

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵△HBE是含45°角的直角三角形，∴∠H=∠HEB=45°，∴BH=BE，∴BH-BA=BE-BC，∴AH=CE；（2）线段HE与CF的数量关系是HE=CF，位置关系是HE⊥CF，...

（1）根据正方形性质得出AB=BC，AD∥BC，根据平行线性质得出∠DAE=∠BEA，BH=BE和AB=BC相减即可得出AH=CE；
（2）段HE与CF的数量关系是HE=CF，位置关系是HE⊥CF，根据正方形性质得出∠DCE=∠HAD=90°，求出∠HAE=∠FEC=135°，∠FCE=45°=∠H，根据ASA证△HAE≌△CEF，推出HE=CF，∠F=∠HEA，求出∠FEH+∠HEA=∠FEH+∠F=90°，根据三角形的内角和定理求出∠FNE=90°即可．

本题考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂直定义等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，有一定的难度．