题目

已知a>0,b>0 3a+b=2求9a^2+b^2+根号ab的最小值

提问时间：2021-05-01

答案

∵（3a-b）²≥0
∴9a²+b²-6ab≥0
∵9a²+b²+6ab=4,9a²+b²=4-6ab代入上式可得：
4-6ab-6ab≥0
解得：ab≤1/3,√ab≤√3/3
9a²+b²+√（ab）
=（9a²+b²+6ab）-6ab+√（ab）
=（3a+b）²-6ab+√（ab）
=4-6ab+√（ab）
设√（ab）=t【t∈（0,√3/3]】,则
9a²+b²+√（ab）
=4-（6t²-t）
要求4-（6t²-t）的最小值,只要求（6t²-t）的最大值,即
结合二次函数图像可知,在（0,√3/3]上,当t=√3/3时,取得最大值,即
9a²+b²+√（ab）的最小值为：4-【6x（√3/3)²-√3/3】=2+√3/3