题目

如果双曲线

x2

a2

−

y2

b2

＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
A. （1，2]
B. （2，+∞）
C. （1，2）
D. [2，+∞）

提问时间：2021-05-01

答案

设双曲线右支任意一点坐标为（x，y）则x≥a，
∵到右焦点的距离和到中心的距离相等，由两点间距离公式：x²+y²=（x-c）²+y²得x=

c

2

，
∵x≥a，∴

c

2

≥a，得e≥2，
又∵双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2
故选B

先设出双曲线右支任意一点坐标，根据到右焦点的距离和到中心的距离相等，利用两点间距离公式建立等式求得x，进而利用x的范围确定a和c的不等式关系，进而求得e的范围，同时根据双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2，最后综合求得答案．

本题考点：双曲线的简单性质．

考点点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是求得a和c的不等式关系，考查了学生转化和化归的思想．