题目

圆的轨迹方程的数学题求解
1.M（3,0）是圆x²+y²-8x-2y+10=0内一点,过点M的最短的弦所在的直线方程为?
2.在△ABC中,已知|BC|=2,且|AB|/|AC|=m,求A的轨迹方程

提问时间：2021-04-30

答案

(1)将x2+y2-8x-2y+10=0化为标准方程：
（x-4）^2+（y-1）^2=7,
∴圆心C的坐标（4,1）,
∵M点在圆内,∴当过M点的直线与CM垂直时,所得弦最短,
∴所求直线的斜率k=--1,
代入点斜式方程得,y=-1×（x-3）,
即所求的直线方程为：x+y-3=0．
故答案为：x+y-3=0．
(2)
|AB|/|AC|=m,
所以m>0
令BC在x轴上,且BC的中点为原点
A的坐标为(x,y)
则|AB|^2=(x+1)^2+y^2,
|AC|^2=(x-1)^2+y^2
(x+1)^2+y^2=m[(x-1)^2+y^2]
(m^2-1)*x^2-2*(m^2+1)*x+(m^2-1)+(m^2-1)*y^2=0
两种情况
m=1,则x=0,
A的轨迹是BC的垂直平分线
m≠1,则整理可得：
[x+2m／（1-m^2）]^2+y^2＝[2m/（1-m^2）]^2.
A的轨迹是圆,
圆心（-2m/（1-m^2）,0）,
半径|2m/（1-m^2）|