题目

数续高手.初二因式分解的题 !
一位同学在研究中发现：
0*1*2*3+1=1=1^2 1*2*3*4+1=25=5^2 2*3*4*5+1=121=11^2
由此,他猜想得到两个结论：1.任何四个连续自然数的乘积加上1,所得和一定是一个正整数的平方；2.如果这四个数是连续正整数,那么运算的结果是一个质数的平方.你认为他猜想到的两个结论对吗?如果对,说明理由；如果不对,请举一反例.

提问时间：2021-04-30

答案

设四个连续整数的第一个是n
则n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n^2+3n)[(n^2+3n)+2]+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2
所以任何四个连续自然数的乘积加上1,所得和一定是一个正整数的平方
这个正确
n=6,n^2+3n+1=55,不是质数
所以第二个猜想不对