题目

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD、AB中点，且MN⊥AB．梯形ABCD一定为等腰梯形，请你用两种不同的方法说明理由．

提问时间：2021-04-30

答案

证法一：
连接AM、BM，∵N为AB中点，
∴AN=BN，
又∵MN⊥AB，
∴AM=BM，∠AMN=∠BMN，
∵M为CD中点，
∴CM=DM，
又∵AM=BM，
∴∠MAB=∠MBA，
又∵DC∥AB，
∴∠MAB=∠AMD，∠MBA=∠BMC，
∴∠AMD=∠BMC，
∴△ADM≌△BCM，
∴AD=BC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
证法二：∵M、N分别为CD、AB中点，又MN⊥AB，
∴MN梯形ABCD的对称轴，根据对称的性质，
∴AD=BC，
∴梯形ABCD为等腰梯形．

证法一：连接AM、BM，先证明△AMN≌△BMN，再证明△ADM≌△BCM即可证明；
证法二：根据轴对称的性质进行说明；

本题考点：等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了等腰梯形的判定及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是连接AM、BM，证明三角形全等．