题目

一道极值题
z=ln(1+x^2+y^2)+1-x^3/15-y^2/4 求极值
“得到（0,0）,（0,正负根号3）,（2,0)” 这个结果如何得到?我就是这个结果求不出来

提问时间：2021-04-29

答案

分别对x,y求偏导,令其等于零
（1）对x求偏导=2x/(1+x^2+y^2)-x^2/5=0
（2）对y求偏导=2y/(1+x^2+y^2)-y/2=0
（1）（2）方程求解步骤：
由（1）知,x=0是一个解,代入方程（2）,得到y=0或y=正负根号3（y非零时可以约掉y）
（0,0）,（0,正负根号3）
由（2）知,y=0是一个解,代入方程（1）,得到x=0
（0,0）
或x不等于零时,x（1+x^2）=5,由于x（1+x^2）>0,x>0,此时x（1+x^2）递增,只有一解.x=2是我看出来的
（2,0）
y不等于零时0,由（2）知1+x^2+y^2=4,代入（1）可知（去除x=0的情况,前面已经讨论过）
x=5/2,代入1+x^2+y^2=4无解.
所以
得到（0,0）,（0,正负根号3）,（2,0）
判断该点左右的偏导数大于零还是小于零可知,该点是拐点（左右一样）,极大值（左大右小）,极小值（左小右大）
或者求二阶导进行判断 ：
拐点（变号）,极大值（负）,极小值（正）
z（0,0）=1
z（0,正负根号3）=ln4+0.25
z（2,0）=ln5-7/15