题目

已知OA和OB是圆O的两条半径,且OA⊥OB,弦AD交OB于P,过点D的切线交OB的延长线于C,若PD=DC,则∠A=

提问时间：2021-04-29

答案

延长AO交⊙O于E,连结DO、DE.
∵PD＝DC,∴∠C＝∠CPD,∴∠CDP＝180°－2∠C.
∵DC切⊙O于D,∴∠CDO＝90°,∴∠CDP＋∠ODA＝90°,∴180°－2∠C＋∠OCA＝90°,
∴2∠C－∠OCA＝90°.
显然有：AO＝DO,∴∠OCA＝∠A,∴2∠C－∠A＝90°.
∵AE是⊙O的直径,∴AD⊥DE、又PO⊥EO,∴E、O、P、D共圆,∴∠CPD＝∠E.
由∠C＝∠CPD、∠CPD＝∠E,得：∠C＝∠E.
又DO＝EO,∴∠E＝∠ODE,∴∠C＝∠ODE,而∠ODE＋∠ODA＝90°,
∴∠C＋∠A＝90°,∴2∠C＋2∠A＝180°.
联立：2∠C－∠A＝90°、2∠C＋2∠A＝180°,消去∠C,得：3∠A＝90°,∴∠A＝30°.