题目

如图，已知半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD，其交点E到圆心O的距离为1，则AB²+CD²=______．

提问时间：2021-04-29

答案

连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四边形OMEN为矩形；
∵OM²+ME²=OE²（勾股定理），
又∵ME²=ON²
∴OM²+ON²=OE²；
∵OM²=DO²-DM²=4-（

DC

2

）²；
又∵ON²=OA²-AN²=4-（

AB

2

）²，
∴OM²+ON²=4-（

AB

2

）²+4-（

DC

2

）²=1，
∴AB²+CD²=28．
故答案是：28．

作辅助线“连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N”构造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理推知，OM²=DO²-DM²=4-（

DC

2

）2、ON²=OA²-AN²=4-（

AB

2

）2，所以OM²+ON²=4-（

AB

2

）2+4-（

DC

2

）2=1，由此解得AB²+CD²=28．

本题考点：垂径定理；勾股定理．

考点点评：本题主要考查了的是垂径定理和勾股定理．解得该题的关键是通过作辅助线构建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将 AB²+CD²联系在同一个等式中，然后根据代数知识求解．