题目

抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A、B两点,过A、B分别做抛物线的切线,交于M点,（1）证明AB与FM垂直.（2）证明M点在抛物线的准线上.

提问时间：2021-04-29

答案

设过点F的直线方程为 y=k(x-p/2),A,B两点坐标分别为（Xa,Ya),(Xb,Yb)
x = y^2/2p 代入 y=k(x-p/2) 化简得到
ky^2-2py-kp^2 = 0
Ya+Yb = 2p/k
Ya*Yb = -p^2
抛物线y^2=2px的点的切线斜率为 y' = p/y
过A点的切线方程为 Ya*y = px+pXa
过B点的切线方程为 Yb*y = px+pXb
过A、B分别做抛物线的切线,交于M点,
M点的坐标为（Xm,Ym)
Ym = p*(Xa-Xb)/(Ya-Yb) = (Ya+Yb)/2
Xm = Ya*Yb/2p
直线MF的斜率
Km = [(Ya+Yb)/2] / [Ya*Yb/2p - p/2]
把上面已经求出的 Ya+Yb = 2p/k,Ya*Yb = -p^2 代入
Km = -1/k,AB与FM垂直
(2)Xm = Ya*Yb/2p = -p/2
M点在抛物线的准线 x= -p/2 上