题目

△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，在BC边上找一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等，求BP的长．

提问时间：2021-04-28

答案

作∠CAB的平分线，交BC于点P，过点P作PD⊥AB于D，
∴PD=PC．
在Rt△ADP和Rt△ACP中，

PD＝PC AP＝AP

，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL）
∴AD=AC=3．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=5，
∴BD=5-3=2．
设PC=x，则PD=x，BP=4-x，在Rt△BDP中，由勾股定理，得
（4-x）²=x²+2²，
解得：x=1.5，
∴BP=4-1.5=2.5．
答：BP的长为2.5．

作∠CAB的平分线，交BC于点P，过点P作PD⊥AB于D，就有PD=PC，就可以得出AC=AD，再由勾股定理就可以得出结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理．

考点点评：本题考查了勾股定理的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等和运用勾股定理建立方程求解是关键．