题目

函数y=f（x）是定义在R上的函数,如果存在一个点A ,对函数y=f（x）的图像上的任意点P,P关于A的对称点也在y=f（x）的图像上,则称函数y=f（x）关于点A对称,A为其对称中心.已知A（a,b）是y=f（x）的对称中心的充要条件：对任意x∈R,f（a+x）+f（a-x）=2b恒成立.
（2）函数f（x）=2sin（x+π/6）（x∈R）的对称中心有多少个?请用一个通式表示出来.当x∈[-2004,2004]时,函数f（x）有对称中心吗?请说明理由.
问：当x∈[-2004,2004]时,函数f（x）有对称中心吗?我觉得有啊,为什么答案是没有呢?求详解.

提问时间：2021-04-27

答案

(1)如果点(x,y)是函数f(x)的图象上,则有y=f(x)
点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标是:(2a-x,2b-y),
由题意知,对称点也在函数图象上,则2b-y=f(2a-x),其中y=f(x),即f(x)+f(2a-x)=2b
对任意x成立,做一个整体换元,把所有x换成x+a,则有:f(a+x)+f(2a-a-x)=2b,即f(a+x)+f(a-x)=2b
反过来,同理.
(2)对称中心为x+pi/6=kpi,即中心点的坐标为(kpi-pi/6,0),(k为整数)
当-2004