题目

已知函数f（x）=x²-2x-8，若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-04-23

答案

∵f（x）=x²-2x-8．当x＞2时，f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
∴x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，即x²-4x+7≥m（x-1）．
∴对一切x＞2，均有不等式

x2−4x+7

x−1

≥m成立．
而

x2−4x+7

x−1

=（x-1）+

4

x−1

-2≥2

(x−1)• 4 x−1

−2＝4−2＝2，（当x=3时等号成立）．
∴实数m的取值范围是（-∞，2]．

根据二次函数的图象和性质，将不等式恒成立问题进行转化，利用基本不等式的性质，即可得到结论．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用二次函数的图象和性质，以及基本不等式是解决本题的关键．