题目

已知正方体内接于球O,则所有与正方体的表面及球O的球面都相切的最大的球的体积之和与球O的体积之比为多少

提问时间：2021-04-23

答案

假设正方体棱长是1,则其对角线为√3,则球O的半径为√3/2,则六个与正方体的表面及球O的球面都相切的最大的球的半径为(√3-1)/4,则其总体积为8π[(√3-1)/4]^3=π(3√3-5)/4,而球O的体积为(4/3)π(√3/2)^3=π(√3/2),则其比值为=(3√3-5)/2√3=(9-5√3)/6.