题目

已知正n边形共有n条对角线，它的周长等于p，所有对角线长的和等于q，求

q

p

 − 

p

q

提问时间：2021-04-23

答案

设这个多边形的边数是n．
根据题意得：

1

2

n•（n-3）=n，
解得：n=5．
则多边形的边数是5．
作正五边形ABCDE，连接AD；
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠ABC=∠BAE=

3×180°

5

=108°，AB=BC，
∴∠BAC=∠ACB=

180°−108°

2

=36°，
同理可知，∠AED=108°，AB=BC=AE=DE，
∴△ABC≌△AED，AC=AD；
∵∠BAC=∠DAE=36°，∠BAE=108°，
∴∠CAD=108°-36°-36°=36°，
∴∠ACD=∠ADC=72°；
作∠ACD的平分线，交AD于F，根据题意，∠CAD=36°，∠ACD=∠ADC=72°；
∴∠ACF=∠FCD=36°，AF=CF=CD，
∴△FCD∽△CAD，
∵正n边形共的周长等于p，所有对角线长的和等于q，
∴CD=

p

5

，AC=

q

5

则

CD

AC

=

FD

CD

，即

p 5

q 5

=

q 5 − p 5

p 5

，
∴

p

q

=

q−p

p

，

p

q

=

q

p

-1，即

q

p

 − 

p

q

=1．
故

q

p

 − 

p

q

的值为1．