题目

已知

a

=（cosx+sinx，sinx），

b

=（cosx-sinx，2cosx），求证：向量

a

与向量

b

不可能平行．

提问时间：2021-04-23

答案

假设

a

∥

b

，则2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，
化为2cos²x+sinxcosx+sin²x=0，1+cos2x+

1

2

sin2x+

1−cos2x

2

=0，
化为sin2x+cos2x+3=0，
∴

2

sin(2x+

π

4

)+3＝0，
∴sin(2x+

π

4

)＝−

3 2

2

这与sin(2x+

π

4

)∈[−1，1]矛盾．
故假设不成立，
∴原结论正确，即向量

a

与向量

b

不可能平行．

利用“反证法”：假设

a

∥

b

，则2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，化为sin(2x+

π

4

)＝−

3 2

2

，这与sin(2x+

π

4

)∈[−1，1]矛盾．即可得出．

本题考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．

考点点评：本题考查了“反证法”、向量共线定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的有界性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．