题目

如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，M是BC的中点，E是BC上任意一点，EP⊥BD于点P，EQ⊥AC于点Q，连接MP和MQ，试说明MP=MQ．

提问时间：2021-04-23

答案

连接OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∵M为BC的中点，
∴OM=BM=CM，∠OBC=○OCB=45°=∠COM=∠BOM，∠OMB=90°，
∵∠BOC=90°，EQ⊥OC，EP⊥OB，
∴∠QOP=∠OPE=∠OQE=90°，
∴四边形OPEQ是矩形，
∴OQ=PE，∠OPE=90°，
∴∠BPE=90°，
∵∠PBC=45°，
∴∠PBE=∠PEB=45°，
∴BP=PE=OQ，
在△PBM和△QOM中

BP＝OQ ∠PBM＝∠QOM＝45° BM＝OM

∴△PBM≌△QOM，
∴MP=MQ．

连接OM，求出∠PBM=∠QOM，OM=BM，OQ=PE=PB，证明△OPM≌△QCM，根据全等三角形的性质得出即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

考点点评：本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目综合性比较强，有一定的难度．