题目

设m为实数,函数f(x)=2x^2+(x-m)|x-m|,h(x)=f(x)/x x不等于0 0x=0 (1)若f（1）＞=4,求m的取值范围（2）当m
当m＞0时，求证h（x）在[m，+∞）上是单调递增函数

提问时间：2021-04-22

答案

（1）f(x)=2x^2+(x-m)|x-m|
①x＞m时
f(x)=2x^2+(x-m)^2
f(1)=2+(m-1)^2≥4,（1＞m）
解得m＜1-√2,m＞1+√2,m＜1
所以得到m＜1-√2
②x＜m时
f(x)=2x^2-(x-m)^2
f(1)=2-(m-1)^2≥4,（1＜m）
无解 舍去
③x=m=1时
f(1)=2与f（1）＞=4不符
舍去
综上①②③所诉m＜1-√2
（2）f(x)=2x^2+(x-m)|x-m|
①x＞m＞0时
f(x)=2x^2+(x-m)^2
h(x)=3x+(m^2/x)-2m
可知此为对构函数
在（0,√3m/3]递减,（√3m/3,+∞)递增
因为m＞0,所以√3m/3＜m
所以在[m,+∞）上是单调递增函数
②x＜m时
f(x)=2x^2-(x-m)^2
h(x)=x-(m^2/x)+2m
y=x恒增,y=-(m^2/x)在(-∞,0),(0,+∞)递增
所以h(x)=x-(m^2/x)+2m在(-∞,0),(0,+∞)递增
m＞0,所以在[m,+∞）上是单调递增函数
③x=m时
f(x)=2x^2
h(x)=2x是递增函数
所以在[m,+∞）上是单调递增函数
综上①②③所诉h（x）在[m,+∞）上是单调递增函数