题目

求最大值 (22 9:3:9)
已知在矩形AOBC中,OB=4,OA=3.分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴.F是边BC上的一个动点(不与B,C重合),过F点的反比例函数XY=K(K>0)的图象与AC边交于点E.
(1)求证:三角形AOE与三角形BOF的面积相等,
(2)记S=三角形OEF-三角形ECF,求当K为何值时,S有最大值,最大值为多少?

提问时间：2021-04-21

答案

（1）设E（x1,y1）,F(x2,y2),△AOE和△FOB的面积为S1、S2
由题意得 y1=k/x1
y2=k/x2
∴ s1=x1y1/2 s2=x2y2/2
∴S1＝S2 ,即△AOE和△FOB的面积相等
（2）由题意知：
E、F两点坐标分别为
E（ k/3,3）、F（4,k/4 ）
S△ECF＝1/2 EC•CF＝ （4－k/3 ）（3－ k/4）
S△EDF
＝S矩形AOBC－S△AOE－S△ECF
＝12－ k/2－ k/2－S△ECF
S
＝S△OEF－S△ECF
＝12－k－2 S△ECF
＝12－k－2× （4－k/3 ）（3－k/4 ）
S＝ -k²/12 +k
当k＝ -1/[4*(-1/12)]=3
S有最大值9/4