题目

抛物线-韦达定理
已知抛物线 y=xˇ +2(k+3)x+2k+4
设抛物线与x轴的焦点为(a,0),(b,0),当k取何值时,aˇ+bˇ的值最小?

提问时间：2021-04-21

答案

抛物线与x轴的焦点为(a,0),(b,0),
所以a和b是方程x^2+2(k+3)x+2k+4=0的两个根
有两个根
则判别式大于0
4(k+3)^2-4(2k+4)>0
k^2+6k+9-2k-4>0
k^2+4k+5>0
(k+2)^2+1>0
恒成立
所以k可以取任意实数
a+b=-2(k+3),ab=2k+4
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab
=4(k+3)^2-2(2k+4)
=4k^2+24k+36-4k-8
=4k^2+20k+28
=4(k+5/2)^2+3
所以k=-5/2时,a^2+b^2最小