题目

设函数f（x）=x+

1

x

（x∈（-∞，0）∪（0，+∞））的图象为c₁，c₁关于点A（2，1）的对称图象为c₂，c₂对应的函数为g（x）．
（1）求函数g（x）的解析式，并确定其定义域；
（2）若直线y=b与c₂只有一个交点，求b的值，并求出交点坐标．

提问时间：2021-04-20

答案

（1）设函数g（x）的图象上任一点P（x，y），且P关于A（2，1）的对称点P'（x'，y'）；则x+x′2＝2y+y′2＝1，解得x′＝4−xy′＝2−y，∵点P'在函数f（x）=x+1x的图象上，∴2-y=（4-x）+14−x，即g（x）=（x-4）+1x...

（1）设g（x）图象上任一点P（x，y）以及P关于A（2，1）的对称点P'（x'，y'），根据点关于点对称的性质，用p的坐标表示P'的坐标，再把P'的坐标代入f（x）的解析式进行整理，求出g（x）解析式；
（2）对x进行分类讨论，利用基本不等式求出函数g（x）的最值，从而求出b的值和交点的坐标．

本题考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的值域．

考点点评：本题考查了用代入法求函数的解析式，利用点关于点对称的性质求函数的解析式，利用基本不等式的性质求函数的最值问题，是有关函数的综合问题．