题目

椭圆中心在坐标原点,A（2,0）,B（0,1）是他的两个顶点,直线Y=KX（K>0）与AB相交于点D,于椭圆相交于E、F两点.
(1)若（向量ED）=6×（向量DF）,求K的值
(2)求四边形AEBF面积的最大值

提问时间：2021-04-19

答案

已知椭圆方程为x^2/4+y^2=1,直线A B的方程为x/2+y=1,
已知（向量ED）=6×（向量DF）,且K>0,
所以点E在第三象限,点F在第一象限,
设E(x1,y1),F(x2,y2),D(x0,y0) , x1<0,y1<0, x2>0,y2>0
直线Y=KX过原点,x1+x2=0,y1+y2=0,
(1) D是AB与EF的交点,所以x0/2+y0=1,y0=kx0
联立解得x0=1/(k+1/2),y0=k/(k+1/2)
直线Y=KX过原点, 向量EO=向量OF,ED=6DF,(EO+OD)=6(OF-OD)=(OF+OD)
OF=7/5 OD, (x2,y2)=7/5 (x0,y0), 点F在椭圆上, x2^2/4+y2^2=1,
代入整理得24k^2-25k+6=0, 解得k=2/3 or 3/8
(2) S=S△ABF+ S△ABE |AB|=√5
E到AB 的距离为d1,F到AB 的距离为d2
d1=|1/2x1+y1-1|/(√5/2),
d2=|1/2x2+y2-1|/(√5/2)= |-1/2x1-y1-1|/(√5/2)= |1/2x1+y1+1|/(√5/2)
S=S△ABF+ S△ABE=1/2|AB|d2+1/2|AB|d1=|1/2x1+y1-1|+|1/2x1+y1+1|
S^2=|1/2x1+y1-1|^2+|1/2x1+y1+1|^2+2|1/2x1+y1-1|*|1/2x1+y1+1|
=(1/2x1+y1)^2+1-2(1/2x1+y1)+(1/2x1+y1)^2+1+2(1/2x1+y1)+2|(1/2x1+y1)^2-1|
(1/2x1+y1)^2= x1^2/4+y1^2+x1y1=1+x1y1
=4+2x1y1+2|x1y1| (x1<0,y1<0)
=4+4x1y1 (y1=kx1)
=4+4kx1^2 ( x1^2/4+k^2*x1^2=1, x1^2=1/(k^2+1/4) )
=4+[4k/(k^2+1/4)]
=4+[4/( 1/(4k) + K)] (利用均值不等式1/(4k) + K>=1)
<=4+4=8
S<=2√2